При вычислении вероятности необходимо учитывать два правила при определении, являются ли два события независимыми или зависимыми и являются ли они взаимоисключающими или нет.

Правило умножения

Если A и B - два события, определенные в пространстве выборки, то:. Мы можем думать о символе пересечения как о замене слова «и».

Это правило можно также записать как:

Это уравнение читается как вероятность A данного B равна вероятности А и Б делится на вероятность B .

Если A и B независимы, то. Тогда становится, потому что если A и B независимы.

Один из простых способов запомнить правило умножения состоит в том, что слово «и» означает, что событие должно удовлетворять двум условиям. Например, имя, выбранное из списка класса, должно быть как девушкой, так и второкурсницей. Два условия сложнее удовлетворить, чем одно, и, конечно, когда мы умножаем дроби, результат всегда меньше. Это отражает возрастающую сложность выполнения двух условий.

Правило сложения

Если A и B определены в пространстве выборки, то:. Мы можем думать о символе объединения, заменяющем слово «или». Причина мы вычитаем пересечение A и B , чтобы сохранить от двойных элементов подсчета , которые находятся в обоих A и B .

Если A и B исключают друг друга, то. Потом становится.

Клаус пытается выбрать, куда поехать в отпуск. Его два варианта: A = Новая Зеландия и B = Аляска.

  • Клаус может позволить себе только один отпуск. Вероятность того, что он выберет A, равна P ( A ) = 0,6, а вероятность того, что он выберет B, равна P ( B ) = 0,35.
  • потому что Клаус может позволить себе только один отпуск
  • Следовательно, вероятность того, что он выберет Новую Зеландию или Аляску, равна. Обратите внимание, что вероятность того, что он никуда не поедет в отпуск, должна составлять 0,05.

Карлос играет в футбол в колледже. Он забивает в 65% случаев, когда бьет. В следующей игре Карлос забьет два мяча подряд. A = событие, которое Карлос добился успеха с первой попытки. Р ( А ) = 0,65. B = случай, когда Карлос успешен со второй попытки. Р ( В ) = 0,65. Карлос любит стрелять сериями. Вероятность того, что он забьет второй гол, что он забил первый, составляет 0,90.

а. Какова вероятность того, что он забьет оба гола?

Карлос с вероятностью 0,585 забивает первый и второй гол.

б. Какова вероятность того, что Карлос забьет первый или второй гол?

б. Проблема в том, чтобы вы нашли P ( A B ).

Карлос с вероятностью 0,715 забивает либо первый, либо второй гол.

c. Независимы ли A и B ?

c. Нет, это не так, потому что P ( B A ) = 0,585.

d. Являются ли A и B взаимоисключающими?

d. Нет, это не так, потому что P ( A B ) = 0,585.

Чтобы быть взаимоисключающими, P ( A B ) должен быть равен нулю.

Хелен играет в баскетбол. При штрафных бросках она выполняет бросок в 75% случаев. Теперь Хелен должна выполнить два штрафных броска. C = событие, когда Хелен делает первый выстрел. Р ( С ) = 0,75. D = событие, которое Хелен делает второй выстрел. P ( D ) = 0,75. Вероятность того, что Хелен выполнит второй штрафной бросок, с учетом того, что она выполнила первый, составляет 0,85. Какова вероятность того, что Хелен выполнит оба штрафных броска?

Команда по плаванию состоит из 150человек. Семьдесят пятьучастников - опытные пловцы. 47участников - пловцы среднего уровня. Остальные - начинающие пловцы. Сорокопытных пловцов занимаются четыре раза в неделю. Тридцатьпловцов среднего уровня занимаются четыре раза в неделю. Десятьначинающих пловцов занимаются четыре раза в неделю. Предположим, случайным образом выбран один член команды по плаванию.

а. Какова вероятность того, что участник - начинающий пловец?

б. Какова вероятность того, что участник тренируется четыре раза в неделю?

c. Какова вероятность того, что участник - опытный пловец и тренируется четыре раза в неделю?

d. Какова вероятность того, что участник является пловцом продвинутого уровня и пловцом среднего уровня? Являются ли пловец продвинутого уровня и пловец среднего уровня взаимоисключающими? Почему или почему нет?

d. P (продвинутый промежуточный уровень) = 0, так что это взаимоисключающие события. Пловец не может быть одновременно пловцом и пловцом среднего уровня.

е. Вы начинающий пловец и четыре раза в неделю занимаетесь самостоятельными видами спорта? Почему или почему нет?

е. Нет, это не самостоятельные мероприятия.

P (новичок практикует четыре раза в неделю) = 0,0667

P (новичок) P (практикует четыре раза в неделю) = 0,0996

0,0667 ≠ 0,0996

В школе 200 человек, из которых 140 поступят в колледж в следующем году. Сорок пойдут прямо на работу. Остальные берут перерыв в год. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих сразу на работу, занимаются спортом. Пятеро пожилых людей, взявших перерыв на год, занимаются спортом. Какова вероятность того, что пенсионер возьмет перерыв на год?

Фелисити посещает Modesto JC в Модесто, Калифорния. Вероятность того, что Фелисити зачислится в класс математики, составляет 0,2, а вероятность того, что она зачислится в класс речевого искусства, равна 0,65. Вероятность того, что она записывается в математический класс, который она записывает в речевой класс, составляет 0,25.

Пусть: M = урок математики, S = урок речи, M S = математика с учетом речи

  1. Какова вероятность того, что Фелисити будет изучать математику и речь?

    Найдите P ( M S ) = P ( M S ) P ( S ).
  2. Какова вероятность того, что Фелисити поступит на уроки математики или речи?

    Найдите P ( M S ) = P ( M ) + P ( S ) - P ( M S ).
  3. Независимы ли M и S ? Является P ( M S ) = P ( M )?
  4. Являются ли M и S взаимоисключающими? Является ли Р ( М S ) = 0?

а. 0.1625, г. 0,6875, г. Кивок. Нет

Студент идет в библиотеку. Пусть события B = студент проверяет книгу, а D = студент проверяет DVD. Предположим, что P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 и P ( D B ) = 0,5.

  1. Найдите P ( B D ).
  2. Найдите P ( B D ).
  1. P ( B D ) = P ( D B ) P ( B ) = (0,5) (0,4) = 0,20.
  2. P ( B D ) = P ( B ) + P ( D ) - P ( B D ) = 0,40 + 0,30 - 0,20 = 0,50

Исследования показывают, что примерно у одной седьмой женщины (примерно 14,3%), дожившей до 90 лет, разовьется рак груди. Предположим, что у женщин, у которых развивается рак груди, тест дает отрицательный результат в 2% случаев. Также предположим, что в общей популяции женщин тест на рак груди дает отрицательный результат примерно в 85% случаев. Пусть B = женщина заболевает раком груди, а N = тест отрицательный. Предположим, одна женщина выбрана случайным образом.

а. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак груди? Какова вероятность того, что у женщины отрицательный результат?

б. Учитывая, что у женщины рак груди, какова вероятность того, что у нее будет отрицательный результат?

c. Какова вероятность того, что у женщины рак груди И результаты анализов отрицательны?

d. Какова вероятность того, что у женщины рак груди или отрицательные результаты анализов?

е. Есть ли у вас рак груди и отрицательные результаты тестирования?

f. Являются ли рак груди и отрицательный результат взаимоисключающими?

В школе 200 человек, из которых 140 поступят в колледж в следующем году. Сорок пойдут прямо на работу. Остальные берут перерыв в год. Пятьдесят старшеклассников, поступающих в колледж, занимаются спортом. Тридцать пенсионеров, идущих сразу на работу, занимаются спортом. Пятеро пожилых людей, взявших перерыв на год, занимаются спортом. Какова вероятность того, что выпускник пойдет в институт и займется спортом?

Пусть A = студент - выпускник колледжа.

Пусть B = студент занимается спортом.

См. Информацию на (Рисунок). P = тест положительный.

  1. Учитывая, что у женщины развивается рак груди, какова вероятность того, что у нее положительный результат теста. Найдите P ( P B ) = 1 - P ( N B ).
  2. Какова вероятность того, что у женщины разовьется рак груди и положительный результат теста. Найдите P ( B P ) = P ( P B ) P ( B ).
  3. Какова вероятность того, что у женщины не разовьется рак груди. Найдите P ( B ′ ) = 1 - P ( B ).
  4. Какова вероятность того, что у женщины положительный результат теста на рак груди. Найдите P ( P ) = 1 - P ( N ).

а. 0,98; б. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15

Студент идет в библиотеку. Пусть события B = студент извлекает книгу, а D = студент извлекает DVD. Предположим, что P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 и P ( D B ) = 0,5.

  1. Найдите P ( B ′ ).
  2. Найдите P ( D B ).
  3. Найдите P ( B D ).
  4. Найдите P ( D B ′ ).
  5. Найдите P ( D B ′ ).
  1. P ( B ′ ) = 0,60
  2. P ( D B ) = P ( D B ) P ( B ) = 0,20
  3. P ( B | D ) = = = 0,66
  4. P ( D B ′ ) = P ( D ) - P ( D B ) = 0,30 - 0,20 = 0,10
  5. P ( D B ′ ) = P ( D B ′ ) P ( B ′ ) = ( P ( D ) - P ( D B )) (0,60) = (0,10) (0,60) = 0,06

использованная литература

ДиКамилло, Марк, Мервин Филд. «Файловый опрос». Корпорация полевых исследований. Доступно в Интернете по адресу http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Райдер, Дэвид, «Поддержка Ford резко падает, согласно опросу», The Star, 14 сентября 2011 г. Доступно в Интернете по адресу http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (по состоянию на май 2, 2013).

«Мэр не одобряет». Пресс-релиз Forum Research Inc. Доступен на сайте http://www.forumresearch.com/forms/News Archives / News Releases / 74209_TO_Issues _-_ Mayoral_Approval_% 28Forum_Research% 29% 2820130320% 29.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

«Рулетка». Википедия. Доступно в Интернете по адресу http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Шин, Хён Б., Роберт А. Комински. «Использование языков в США: 2007 г.» Бюро переписи населения США. Доступно в Интернете по адресу http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Данные из Baseball-Almanac, 2013. Доступно на сайте www.baseball-almanac.com (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Данные Бюро переписи населения США.

Данные Wall Street Journal.

Данные из Центра Ропера: Архивы общественного мнения Университета Коннектикута. Доступно на сайте http://www.ropercenter.uconn.edu/ (по состоянию на 2 мая 2013 г.).

Данные Field Research Corporation. Доступно на сайте www.field.com/fieldpollonline (последнее посещение - 2 мая 013 г.).

Обзор главы

Правило умножения и правило сложения используются для вычисления вероятности A и B , а также вероятности A или B для двух заданных событий A , B, определенных в пространстве выборок. При выборке с заменой каждый член популяции заменяется после того, как он выбран, так что этот член имеет возможность быть выбранным более одного раза, а события считаются независимыми. При выборке без замены каждый член популяции может быть выбран только один раз, и события не считаются независимыми. События A и B являются взаимоисключающими, если у них нет общих исходов.

Формула Обзор

Используйте следующую информацию, чтобы ответить на следующие десять упражнений. Сорок восемь процентов всех зарегистрированных избирателей Калифорнии предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, признанного виновным в убийстве первой степени. Среди зарегистрированных в Латинской Калифорнии избирателей 55% предпочитают пожизненное заключение без права досрочного освобождения смертной казни для человека, признанного виновным в убийстве первой степени. 37,6% всех калифорнийцев - латиноамериканцы.